Toch speelt voor de langere termijn prijs(de)escalatie wel degelijk een rol van betekenis. gaven over een korte termijn van enkele jaren zullen prijsstijgingen daarom minder van invloed zijn. Een driehoeksverdeling ligt dan voor de hand omdat deze eenvoudig op basis van ervaring/expertise kan worden ingeschat. Toch speelt voor de langere termijn prijs(de)escalatie wel degelijk een rol van betekenis. Dit blijkt uit analyse van indices van producentenprijzen voor de bouw die door het CBS worden bijgehouden [5]. Ook het CROW houdt indexen bij weliswaar met een andere doelstelling waaruit (de)escalatie van prijzen blijkt [6]. Deze observatie leidde tot de onderzoeksvraag hoe prijs(de)escalatie in probabilistische levensduurramingen meegenomen kan worden. De Geometric Brownian Motion De Geometric Brownian Motion (GBM) kan als alternatief voor een driehoeksverdeling worden ingezet. De GBM wordt ook wel een random walk genoemd. In de financiële wereld is een GBM één van de eerste voor de hand liggende modellen om prijsontwikkeling te voorspellen als historische prijzen beschikbaar zijn. Wiskundig wordt een GBM als volgt omschreven: Vergelijking 1. Hier staat dat het verschil tussen de natuurlijke logaritmen van een prijs op tijdstip j en de prijs op tijdstip j‐1 gelijk is aan een constante drift μ en een volatiliteit σ volgens een schok die een standaardnormaalverdeling volgt. De term εj is een willekeurig getal dat volgt uit een trekking uit een normaalverdeling met een gemiddelde waarde van 0 en een standaardafwijking van 1. De rechterkant van de vergelijking vertelt dat bij iedere tijdstap de verschil-logaritme van twee opeenvolgende prijzen gelijk is aan een constante stap en een willekeurige schok. De constante drift µ en volatiliteit σ kunnen uit historische prijsreeksen worden gehaald door eerst ln (P_j )-ln (P_(j-1)) uit te rekenen. Het gemiddelde van deze reeks is drift µ en de standaardafwijking van deze reeks is volatiliteit σ . Tabel 1 demonstreert hoe de drift en volatiliteit uit historische prijsindices voor asfalt worden gehaald. Tabel 1 - Voorberekening van de drift en votaliteit asfaltprijzen. Input prijsindex wegen met gesloten verharding (4211b, CBS 2020) Jaar 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 Drift Volatility Prijsindex = P 90,4 91,3 97,8 102,9 105,7 108,2 108,7 108,2 123,4 127,7 154,6 138,7 149,7 159,9 169,5 175 173,4 161,7 152,5 166,8 170,4 173,7 Gemiddelde Standaardev. ln(P) 4,50 4,51 4,58 4,63 4,66 4,68 4,69 4,68 4,82 4,85 5,04 4,93 5,01 5,07 5,13 5,16 5,16 5,09 5,03 5,12 5,14 5,16 µ σ 0,010 0,069 0,051 0,027 0,023 0,005 -0,005 0,131 0,034 0,191 -0,109 0,076 0,066 0,058 0,032 -0,009 -0,070 -0,059 0,090 0,021 0,019 0,031 0,066 Zodra drift µ en volatiliteit σ gevonden zijn, kunnen met vergelijking 1 toekomstige prijsvoorspellingen worden gedaan. Daarvoor is het handig om het natuurlijke logaritme van de prijzen weg te halen. Vergelijking 1 kan worden omgeschreven tot: Vergelijking 2 vertelt dat de prijs op tijdstip j gesimuleerd kan worden door de prijs op tijdstip j-1 te vermenigvuldigen met een factor. Die factor is de exponentiele waarde van de drift plus de schok van de volatiliteit. Toepassen van vergelijking 2 op de historische asfaltprijzen uit tabel 1 geeft figuur 1. ln(Pj) - ln(Pj-1) 00:18
19 Online Touch Home