62

Als we de resterende levensverwachting van iemand willen bepalen op 1 januari van jaar 𝑡 onder de aanname dat die persoon op 1 januari van jaar 𝑡− 𝑥 geboren werd (met 𝑥 ∈ 𝑋 en 𝑡 ∈ 𝑇) en aannemen dat iemand die binnen een kalenderjaar sterft gemiddeld nog de helft van dat kalenderjaar in leven is, dan vinden we voor die zogenaamde cohortlevensverwachting: ∞ 𝑒𝑥 𝑔,𝑐𝑜ℎ(𝑡) = 1 2 𝑘 +∑∏(1 − 𝑞𝑥+𝑠 𝑔 (𝑡+ 𝑠)). 𝑘=0 𝑠=0 Merk op dat we volgens bovenstaande formule diagonaal door de prognosetafel lopen. De kans dat de persoon op tijdstip 𝑡+ 𝑘 nog leeft is immers het product van overlevingskansen 1− 𝑞𝑥+𝑠 voor alle jaren 𝑠 tussen 0 en 𝑘 waarbij ieder jaar de persoon niet alleen een jaar ouder wordt, maar we ook telkens met een nieuwe kolom in de sterftetafel te maken krijgen. Dit laatste effect wordt niet meegenomen in de periodelevensverwachting ∞ 𝑒𝑥 𝑔,𝑝𝑒𝑟(𝑡) = 1 2 𝑘 +∑∏(1 − 𝑞𝑥+𝑠 𝑔 (𝑡)) 𝑘=0 𝑠=0 die uitgaat van de veronderstelling dat de sterftekansen van tijdstip 𝑡 niet meer zullen veranderen na dit tijdstip. Dit leidt tot een verkeerd beeld van de levensverwachting en hoewel deze periodelevensverwachting vaak nog aangeduid wordt met "de levensverwachting" is dat onjuist. 4 Gebruikte dataset voor de pre-COVID-kalibratie De parameterwaarden van μ𝑥 , 𝑔 (𝑡+ 𝑠) 𝑔,pre−cov(𝑡) in bovenstaand model zijn voor de leeftijden 𝑥∈ 𝑋𝑜 = {0,1, … ,90} bepaald met behulp van de maximum likelihood methode, waarbij gebruik is gemaakt van sterftecijfers en ‘exposures’ in de West-Europese referentiegroep en in Nederland tot en met het jaar 2019. De parameters voor de leeftijden 𝑥∈ 𝑋̃ = {91,92, …,120} zijn vervolgens bepaald via extrapolatie. We onderdrukken in deze paragraaf het geslacht en de aanduidingen EU/NL in de notatie. In Appendix D staan de precieze databronnen vermeld. De data van de Human Mortality Database (HMD) is aangevuld met gegevens uit de Eurostat database (EUROS) en met data uit lokale statistische bureaus van het Verenigd Koninkrijk. In deze databases vinden we per geslacht de benodigde sterfteaantallen maar niet de exposures. Die kunnen echter afgeleid worden uit andere grootheden die wel gegeven worden: • 𝑃𝑥,𝑡 : de bevolking op 1 januari van jaar 𝑡 met een leeftijd tussen 𝑥 en 𝑥+ 1 • 𝐶𝑥,𝑡 : het aantal mensen dat overleden is binnen jaar 𝑡, die op 31 december van jaar t tussen 𝑥 en 𝑥+ 1 jaar oud zouden zijn. Omzetting naar exposures vindt plaats met behulp van de methode die vastgelegd is in het protocol12 van de Human Mortality Database. Dit geeft voor 𝑥> 0: 𝐸𝑥,𝑡 = (𝑃𝑥,𝑡 +𝑃𝑥,𝑡+1) +( 𝐶𝑥,𝑡 − 𝐶𝑥+1,𝑡), 1 2 en voor 𝑥 = 0: ð

63 Online Touch Home