63

5 Kalibratie pre-COVID ‘force of mortality’ De volgende stappen worden separaat doorlopen voor de beide geslachten 𝑔∈ {𝑀, 𝑉} om μ𝑥 𝑔,pre−cov(𝑡) voor de leeftijden 𝑥∈ 𝑋𝑜 = {0,1, … ,90} te kalibreren: • We nemen de exposures 𝐸𝑥,𝑡 𝑔,𝐸𝑈 en geobserveerde sterftes 𝐷𝑥,𝑡 𝑔,𝐸𝑈 voor de relevante WestEuropese landen, met 𝑡∈ 𝑇𝑜 = {1970,1971, … ,2019}. Het betreft steeds de som van alle exposures en de som van alle sterftegevallen in de betreffende landen, inclusief Nederland. We nemen aan (zoals in Brouhns et al. 2002) dat 𝐷𝑥,𝑡 𝑔,pre−cov,EU(𝑡) en dat μ𝑥 𝐸𝑥,𝑡 𝑔,𝐸𝑈μ𝑥 𝑔,pre−cov,EU(𝑡) =𝑒𝐴𝑥 𝑔 +𝐵𝑥 𝑔 𝐾𝑡 . De parameters 𝐴𝑥 𝑔, 𝐵𝑥 𝑔 en 𝐾𝑡 𝑔 zijn vervolgens zo bepaald dat de Poisson likelihoodfunctie voor de geobserveerde sterftes zo groot mogelijk is bij de gegeven exposures: {𝐴𝑥 𝑔 max ∏∏ 𝑥∈𝑋𝑜 𝑡∈𝑇𝑜 , 𝐵𝑥 𝑔 , 𝐾𝑡 } 𝑔 Om een unieke specificatie van de parameters {𝐴𝑥 𝑔, 𝐵𝑥 eisen dat de som van de elementen van 𝐾𝑡 𝑔 over 𝑥∈ 𝑋𝑜 gelijk is aan 1. elementen van 𝐵𝑥 • De maximum likelihood methode wordt vervolgens toegepast op de Nederlandse data om α𝑥 𝑔, β𝑥 𝑔 en κ𝑡 𝑔 te bepalen, via {α𝑥 𝑔 met μ𝑥 max ∏∏ 𝑥∈𝑋𝑜 𝑡∈𝑇∗ , β𝑥 𝑔 , κ𝑡 } 𝑔 𝑔,pre−cov(𝑡) =μ̂𝑥 𝑔,pre−covid,EU(𝑡)𝑒α𝑥 𝑔 +β𝑥 𝑔 1983), waarbij μ̂𝑥 𝑔,pre−covid,EU =exp(𝐴̂𝑥 𝑔 +𝐵̂𝑥 𝑔𝐾̂𝑡 κ𝑡 , 𝑇∗ = {1983,1984, …,2019} (dus nu vanaf 𝑔 en 𝐾̂𝑡 𝑔 𝑔). Hierin zijn 𝐴̂𝑥 𝑔,𝐵̂𝑥 𝑔 over 𝑡∈ 𝑇∗ en β𝑥 𝑔 over 𝑥∈ 𝑋𝑜 respectievelijk 0 en 1 te laten zijn. 𝑀,𝐾̂𝑡 𝑉)′ | 𝑡 ∈ 𝑇𝑜} en { (𝜅̂ 𝑡 𝑔 de schattingen bepaald in de voorgaande stap. Opnieuw wordt genormaliseerd door de som van elementen in κ𝑡 • In de derde stap wordt gebruik gemaakt van schattingen van de tijdreeksen, { (𝐾̂𝑡 𝑀,ϵ𝑡 𝑉,δ𝑡 𝑀,δ𝑡 𝑀,𝜅̂𝑡 𝑉)′ | 𝑡 ∈ 𝑇∗}, zoals bepaald in de voorgaande stappen, om de parameters Ψ= (θ𝑀,θ𝑉,𝑎𝑀,𝑎𝑉,𝑐𝑀,𝑐𝑉)′ en de matrix C te schatten. Onder de gemaakte aanname dat de vectoren 𝑍𝑡 = (ϵ𝑡 𝑉)′ onafhankelijk en identiek verdeeld zijn en een vierdimensionale normale verdeling hebben met gemiddelde (0,0,0,0)′ en covariantiematrix 𝐶, kiezen we de schatters voor Ψ en 𝐶 zodanig dat de likelihood voor deze tijdreeksen gemaximaliseerd wordt (waarbij we negeren dat we werken met schattingen van de ‘echte’ onderliggende waarden voor tijdreeksen, niet geobserveerde tijdreekswaarden). We g

64 Online Touch Home