64

en met de volgende matrices voor 𝑡 = 1983, …,2018 𝑌𝑡+1 = [ 𝐾̂𝑡+1 𝑀 −𝐾̂𝑡 𝜅̂ 𝜅̂ 𝑡+1 𝑀 𝑡+1 𝑉 − 𝐶,Ψ 1 2 𝐾̂𝑡+1 𝑉 −𝐾̂𝑡 𝑀 𝑉 ] , 𝑋𝑡 =[ 10 0 0 00 01 0 0 00 00 𝜅̂𝑡 00 0 𝜅̂𝑡 𝑉 01 tr [𝐶̃−1 ∑ (𝑌𝑡+1 −𝑋𝑡Ψ)(𝑌𝑡+1 −𝑋𝑡Ψ)′ 1982 𝑡=1970 − 1 2 tr [𝐶−1 ∑ (𝑌𝑡+1 −𝑋𝑡Ψ)(𝑌𝑡+1 −𝑋𝑡Ψ)′ 2018 𝑡=1983 ]− 𝑀 01 0] , 𝑍𝑡+1 = [ 13 2 ln(|𝐶̃|) − (13 × 2)ln(2𝜋) 1 2 ln(|𝐶|) − (36 × 4)ln(2𝜋). 1 2 𝜖𝑡+1 𝑀 𝜖𝑡+1 𝑉 𝛿𝑡+1 𝑀 . 𝛿𝑡+1 𝑉 ] Vervolgens worden C en Ψ bepaald door de log-likelihood voor de tijdreeksen te optimaliseren: argmax ]− 36 2 Hierin is 𝐶̃ de 2× 2 submatrix bestaande uit de eerste twee kolommen en rijen van 𝐶. 6 Sluiting van parameterwaarden Vervolgens worden de parameters {𝐴𝑥 , 𝐵𝑥 𝑔 volgt bepaald via extrapolatie. De parameters {𝐵𝑥 ̅= 1 𝑛 ∑ 𝑦𝑘 𝑛 Sluiting van parameterwaarden 𝑔,α𝑥 𝑔,β𝑥 𝑔} voor de leeftijden 𝑥∈ 𝑋̃ = {91,92, …,120} als 𝑔}, 𝑥 ∈ 𝑋̃, worden bepaald via lineaire extrapolatie van {ln(𝐵̂𝑦 𝑘=1 𝑔)} voor de leeftijden 𝑦∈ {80,81,⋯,90}. We schrijven 𝑦𝑘 =80 + (𝑘− 1) voor 𝑘= 1, ⋯, 𝑛 met 𝑛= 11. Het aantal leeftijden 𝑦𝑘 waar de regressie op gebaseerd wordt, is dus 𝑛= 11, het gemiddelde van die leeftijden is 𝑦 𝑘=1 =85 en de kwadraatsom van de afwijking is ∑(𝑦𝑘 −𝑦̅)2 𝑛 vinden we voor 𝑥∈ 𝑋̃: 𝐵̂𝑥 𝑔 =exp(∑𝑤𝑘(𝑥)ln(𝐵̂𝑘 𝑛 𝑘=1 waarbij de regressiegewichten 𝑤𝑘(𝑥) worden gegeven door 𝑤𝑘(𝑥) = 1 𝑛 + (𝑦𝑘 −𝑦̅)(𝑥− 𝑦̅) ∑ (𝑦𝑗 −𝑦̅) 𝑘 𝑗=1 Vervolgens bepalen we {𝐴̂𝑥 𝑔}, 𝑥 ∈ 𝑋̃, zodanig dat in 2019 de waarden van

65 Online Touch Home