66

van leeftijd 𝑥 op dag 𝑑 van jaar 𝑡, verkregen door lineair te interpoleren tussen de maanddata 𝑃𝑚,𝑤,𝑡 𝑔 op grond van het getelde aantal dagen per week en maand. 9 Kalibratiemethode weekmodel Kalibratiemethode weekmodel De volgende stappen worden separaat doorlopen om 𝜊𝑥 𝑔(𝑡) voor leeftijden 𝑥∈ 𝑋∗ = {55,56, … ,90} voor de beide geslachten 𝑔∈ {𝑀, 𝑉} en voor de jaren 𝑡 = 2020 en 𝑡 = 2021 te kalibreren. We corrigeren voor het seizoenseffect, waarmee we de niet-uniforme verdeling van de sterfte over de weken van het jaar aanduiden. We gebruiken de sterfteaantallen van beide geslachten om een (geslachts-onafhankelijk) weekeffect 𝜑𝑤,𝑡 te schatten dat weergeeft hoe de sterfte gedurende het jaar 𝑡 over de weken 𝑤∈ 𝑊2020 = {1,⋯,53} en 𝑤∈ 𝑊2021 = {0,⋯,52} is verdeeld. We bepalen hiervoor de historisch waargenomen totale sterfte voor de weken14 𝑤∈ {1,⋯,52} over de jaren 𝑡∈ {2016,⋯,2019}, waarbij we sommeren over de leeftijden 𝑥∈ 𝑋∗ en beide geslachten: 2019 𝐷𝑤 90 𝑡𝑜𝑡 =∑ ∑ ∑ 𝐷𝑥,𝑤,𝑡 𝑔 𝑡=2016 𝑔∈{𝑀,𝑉} 𝑥=55 We schatten een cyclische cubic spline Φ, die 𝜆∑(𝐷𝑤 53 𝑤=1 minimaliseert, met 𝐷53 𝑡𝑜𝑡 =𝐷1 . 𝑡𝑜𝑡 −Φ(𝑤)) + (1− 𝜆)∫(Φ′′(𝑤)) 𝑑𝑤 2 53 2 1 𝑡𝑜𝑡, onder de nevenvoorwaarde dat Φ′′(𝑤) stuksgewijs lineair en continu is en de functiewaarden en eerste en tweede afgeleide in 𝑤= 1 en 𝑤= 53 overeenkomen, gebruikmakend van de Matlabroutine spcsp. Op grond van visuele inspectie is gekozen voor 𝜆 = 0,03, de parameter die de afweging maakt tussen ‘fit’ en ‘smoothness.’ Voor de gebroken weken 𝑤= 0 en 𝑤= 53 nemen we aan dat Φ(0) =Φ(1) en Φ(53) =Φ(52). We bepalen dan Φ(𝑤) 𝜑𝑤,2020 = 1 53 𝑔,𝑥 ∈ 𝑋∗ en 𝔎𝑤,t 𝑔 ∑ Φ(𝑢) 53 𝑢=1 ,𝑤 ∈ 𝑊2020,𝜑𝑤,2021 = Φ(𝑤) 1 53 ,𝑤 ∈ 𝑊𝑡, voor 𝑡 = 2020, 2021, te schatten, via {𝔅𝑥 𝑔 , 𝔎𝑤,2020 𝑔 met μ𝑥,𝑤 𝑔 (𝑡) =μ̂𝑥 max ∏∏ ∏ } ,𝔎𝑤,2021 𝑔 𝑔,pre−covid(𝑡)𝜑𝑤,𝑡𝑒𝔅𝑥 𝑔 𝔎𝑤,𝑡 𝑔 (𝐸𝑥,𝑤,𝑡 𝑔 𝑥∈𝑋𝑜 𝑡∈{2020,2021} 𝑤∈𝑊𝑡 ∑ Φ(𝑢) 52 𝑢=0 De maximum likelihood methode wordt vervolgens toegepast op de Nederlandse weekdata om 𝔅𝑥 μ𝑥,𝑤 𝑔 (𝑡)) 𝐷𝑥,𝑤,𝑡 𝑔 exp (−𝐸𝑥,𝑤,𝑡 𝑔 𝐷𝑥,𝑤,𝑡 𝑔 90 𝑥=55 ! en met als normalisatie ∑ 𝔅𝑥 𝑔 =1 voor 𝑡 = 2020, 2021, en de bijbehorende 𝔅̃𝑥 𝑔 , 𝑥 ∈ 𝑋∗. We bepalen eerst 𝔛̃𝑡 𝑔 en 𝔅̃𝑥 𝑔 door te ste

67 Online Touch Home