68

Appendix B Limiet sterftekans onder Kannisto per prognosejaar In deze paragraaf geven we de technische achtergrond waarom de sluiting volgens Kannisto toegepast per prognosejaar ertoe leidt dat de levensverwachting naar een vooraf bekende limiet convergeert en de betrouwbaarheidsintervallen rond de levensverwachting afnemen over de tijd. Tevens is een berekening van het omslagpunt voor AG2020 opgenomen. Hiertoe kijken we naar de limiet van de sterftekans per leeftijd over de tijd. Eerst laten we zien dat het AG-model op termijn neigt naar een standaard Lee-Carter (LC) model. Vervolgens leggen we voor een standaard LC-model bovengenoemd probleem uit, waarbij bovendien duidelijk wordt dat het omslagpunt voor een standaard LC-model één leeftijd is. Voor het AG-model verschuift het omslagpunt in de tijd vanwege de Nederland-specifieke afwijking waarbij de leeftijd waarop het omslagpunt plaatsvindt, toeneemt. Beschrijving Kannisto-methode Eerst beschrijven we Kannisto in het kort (zie de AG2020-publicatie). Deze methode wordt gebruikt om de éénjarige overlijdenskansen 𝑞𝑥,𝑡 𝑔 =1− 𝑒−𝜇𝑥,𝑡 𝑔 𝑔 bepaald via voor de leeftijden 91-120 te bepalen op basis van de éénjarige overlijdenskansen van de leeftijden 80-90 jaar. Voor een leeftijd 𝑥∈ {91, ⋯,120} wordt 𝜇𝑥,𝑡 • 𝜇𝑥,𝑡 𝑔 =𝐿 (∑ 𝑤𝑘(𝑥) 90 𝑘=80 𝐿−1(𝜇𝑘,𝑡 𝑔 )), met 𝐿(𝑧) =1/(1+ 𝑒−𝑧) en 𝐿−1(𝑧) =−ln(1 Kannisto op de lange termijn We gaan uit van de projecties ln(𝜇̂𝑥,𝑇+𝑡 𝑔 • ln(𝜇̂𝑥,𝑇+𝑡 𝑔 )= (𝛼𝑥 𝑔 +𝛽𝑥 𝑔 )= ( (𝛼𝑥 𝑔 +𝛽𝑥 𝑔 𝐾𝑇 𝑔 𝑔𝜅̂ We kunnen dit herschrijven als: • ln(𝜇̂𝑥,𝑇+𝑡 𝑧−1)=ln(𝑧) −ln(1− 𝑧). 𝑇+𝑡 𝑔 )+ (𝐴𝑥 𝑔 +𝐵𝑥 ̂𝜅𝑇+𝑡 𝑔 )+𝐴𝑥 𝑔 +𝜃𝑔×𝑡 ). Deze projecties zien er als volgt uit: 𝑔 +𝜃𝑔 ×𝑡)). 𝑔(𝐾𝑇 +𝐵𝑥 𝑔)× (𝐾𝑇 𝑔 +𝜃𝑔 ×𝑡). In geval van coherentie, dat wil zeggen als |𝜅̂𝑇+𝑡 𝑔 | ≤ 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑, volgt uit deze formule dat op de lange termijn het AG-model zich zal gaan gedragen als een Lee-Carter model, met de uitkomsten bepaald door 𝐵𝑥 𝑔 ×(𝐾𝑇 𝑔 +𝜃𝑔 ×𝑡). Dit betekent dat de langere termijn uitkomsten van het AG-model voor wat betreft de hogere leeftijden vergelijkbaar zullen zijn met Lee-Carter gecombineerd met de Kannisto methode. In het onderstaande werken we dit verder uit. In de inverse functie 𝐿−1(𝑧) substitueren we 𝑧= 𝜇

69 Online Touch Home