22

vergelijken en heeft geen moeite met lage discontovoeten. Alternatief 3 berekent de contante waarde over een oneindige tijdshorizon door uit te gaan van herhalingen van levenscycli en door slim gebruik te maken van repeterende reeksen van kasstromen. Voor de P∞-methode zoeken we naar het repeterende karakter van levensduuractiviteiten. Om de schrijfwijze van de formules te vereenvoudigen definiëren we eerst: 1 𝐾= 1+𝑟 (b) waarbij r = reële discontovoet. Bij het analyseren van levensduurkasstromen zit het repeterende karakter meestal in de: • (Her)investeringen • Groot-onderhoud • Jaarlijkse exploitatie Deze worden achtereenvolgens toegelicht. Repeterende investeringen De contante waarde van een investering (I0) die nu plaatsvindt en zich blijft herhalen met intervallen gelijk aan de levensduur (N) van een infrastructuur volgt uit formule (3): 1 𝑃[0,∞] =𝐼0 ∙( 1−𝐾𝑁) (c) waarbij P∞ = contante waarde van de reeks (her)investeringen (I0) met interval N; N = levensduur van de infrastructuur. Repeterend groot-onderhoud Stel we hebben een levensduur van 80 jaar (N = 80) en iedere 20 jaar groot-onderhoud (n = 20). Het repeterende groot-onderhoud (GO) vindt dan plaats in de jaren 20 – 40 – 60 – (-) -100 – 120 – 140 – (-) – etc. De contante waarde van een dergelijke reeks volgt uit: 𝑃[𝑛,∞] =𝐺𝑂 ∙ [( 1−𝐾𝑛)−( 1 1−𝐾𝑁)] 1 (d) De eerste term in de rechter vierkante haken is voor de doorlopende reeks groot-onderhoud met interval n. De tweede term in de vierkante haken trekt de reeks van het groot-onderhoud af dat samenvalt met de vervangingsinvesteringen. Er zijn ook situaties waarbij het groot-onderhoud cyclisch niet goed past in de levensduur. Stel dat de levensduur 80 jaar is en grootonderhoud plaats vindt in jaar 30 – 50. De reeks is dan 30 – 50 – (-) – 110 – 130 – (-) – etc. Voor een dergelijke reeks is een omweg nodig waarbij eerst de contante waarde van het groot-onderhoud in één levenscyclus N wordt bepaald. Vervolgens kan deze contante waarde hetzelfde worden behandeld als de vervangingsinvesteringen in formule (c). De contante waarde van het groot-onderhoud in een levenscyclus N volgt uit: 𝐾𝑇𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡 𝑃[𝑇𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡,𝑇𝑒𝑖𝑛𝑑] =𝐺𝑂 ∙ −𝐾𝑇𝑒𝑖𝑛𝑑 1−𝐾𝑛 (e) Tabel 1 - Rekenvoorbeeld met levensduuruitgaven van twee bruggen. Discontovoet 1,6% Levensduur Investering Exploitatie (jaarlijks) Groot-onderhoud (cyclisch 25 jaar) Brug A 80 € 5.000.000 € 60.000 € 350.000 Brug B 100 € 6.000.000 € 50.000 € 300.000 Methoden 2 (EAC) en 3 (P∞) zijn met de huidige aanpak vergeleken waarbij een rekenhorizon wordt beëindigd na 100 jaar. Voor brug A is in de huidige aanpak, in jaar 80 een vervangingsinvestering opgenomen, en voor brug B in jaar 100. De resultaten van de berekeningen voor brug A en B zijn opgenomen in tabellen 2 en 3. In het voorbeeld is Tstart = 30, Teind = 70 en n = 20. Teind is de waarde waarop GO zou plaatsvinden volgens het interval, maar die niet meer mag optreden. Deze uitkomst uit formule (e) kan vervolgens gelijk worden behandeld als de cyclische investering in formule (c). Repeterende jaarlijkse exploitatiebedragen De contante waarde van een oneindige reeks exploitatiekasstromen (E) die beginnen in jaar 1 en jaarlijks terugkomen kunnen worden berekend met: 𝑃[1,∞] = 𝐸 𝑟 (f) Enkele exploitatiekasstromen vallen samen met de herinvesteringen. Meestal is dit verwaarloosbaar. Als dit niet zo is, zal een reeks exploitatiekasstromen met interval N moeten worden afgetrokken zoals bij groot-onderhoud in formule (d). Met deze set formules die de contante waarden uitrekenen van repeterende reeksen kan snel de contante waarde van alle levens - cyclusactiviteiten worden bepaald: 1. Identificeer de reeksen van de verschillende levensduuractiviteiten; 2. Gebruik de juiste formule om de contante waarde van een oneindige reeks te berekenen; 3. Tel de contante waarde van de verschillende levensduuractiviteiten bij elkaar op. Op deze wijze kunnen varianten met verschillende levensduren met elkaar worden vergeleken omdat de rekenhorizon gelijk is (oneindig). Ook kan deze methode zonder moeite omgaan met lage discontovoeten. Rekenvoorbeeld Als illustratie voor de alternatieven beschouwen w

23 Online Touch Home